STEP１：FEMを支えている基礎理論

はじめに

ある構造物の境界に変位や荷重が与えられて変形したとしても、その構造物の用途に応じた使用が継続可能であればそれは「安定」であるといえます。
このとき構造物は連続の状態を保ち「釣り合いの状態」にあります。その構造物を適当な要素に分割して内部を観察すると、隣り合う要素は互いに力を及ぼし合っています。そしてたとえ局所的に応力集中を生じているとしても、系全体としては釣り合いの状態にあるといえるのです。この釣り合いの状態から有限要素法の諸理論は展開されます。

基礎弾性方程式

3次元有限要素法では、変位3成分\((u,v,w)\)（以降\(\,\vec{u}\,\)と書くこともある）、歪み6成分\((\varepsilon_x,\varepsilon_y,\varepsilon_z,\gamma_{xy},\gamma_{yz},\gamma_{zx})\)、応力6成分\((\sigma_{x},\sigma_{y},\sigma_{z},\tau_{xy},\tau_{yz},\tau_{zx})\)、の計15成分が変数となります。そして、①変位‐歪み関係式、②応力‐歪み関係式、③力の釣合い式の計15本の基礎弾性方程式（式\eqref{1}～\eqref{3}）のもとにその諸理論は展開されるため、これらの変数はすべて求めることができます。母変数には変位または応力を選ぶ2つの方法がありますが、ここでは変位を母変数とする変位法を用いて話を進めます。

\begin{alignat}{3} &\varepsilon_{x} = \dd{u}{x} &\varepsilon_{y} &= \dd{v}{y} &\varepsilon_{z} &= \dd{w}{z} \label{1}\\ &\gamma_{xy} = \dd{u}{y} + \dd{v}{x} &\gamma_{yz} &= \dd{v}{z} + \dd{w}{y} &\gamma_{zx} &= \dd{w}{x} + \dd{u}{z} \notag \\ \notag \\ &\varepsilon_x = \frac{\sigma_x}{E} - \frac{\nu}{E}(\sigma_y + \sigma_z) &\varepsilon_y &= \frac{\sigma_y}{E} - \frac{\nu}{E}(\sigma_z + \sigma_x) &\varepsilon_z &= \frac{\sigma_z}{E} - \frac{\nu}{E}(\sigma_x + \sigma_y) \\ &\gamma_{xy} = \frac{1+\nu}{E}\tau_{xy} &\gamma_{yz} &= \frac{1+\nu}{E}\tau_{yz} &\gamma_{zx} &= \frac{1+\nu}{E}\tau_{zx} \notag \\ \notag \\ &\dd{\sigma_x}{x} + \dd{\tau_{yx}}{y} + \dd{\tau_{zx}}{z} + F_x &= 0 \label{3}\\ &\dd{\sigma_y}{y} + \dd{\tau_{zy}}{z} + \dd{\tau_{xy}}{x} + F_y &= 0 \notag \\ &\dd{\sigma_z}{z} + \dd{\tau_{xz}}{x} + \dd{\tau_{yz}}{y} + F_z &= 0 \notag \end{alignat}

基礎弾性方程式のテンサー標記表示

テンサー標記を用いると有限要素法の諸理論を簡潔に展開できます。基礎弾性方程式\eqref{1}～\eqref{3}をこの標記法を用いて示すと式\eqref{4}～\eqref{6}となります。この標記は、有限要素法をプログラミングする上で大変有用です。

\begin{align} &\varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}(u_{i,j} + u_{j,i}) \label{4} \\ \notag \\ &\varepsilon_{ij} = \frac{(1+\nu)}{E}\sigma_{ij} - \frac{\nu}{E}\delta_{ij}\sigma_{kk} \\ \notag \\ &\sigma_{ji,j} + F_{i} = 0 \label{6} \end{align}

ここに、\(\delta_{ij}\)は、クロネッカーのデルタ記号と呼ばれるもので、 \begin{eqnarray} \delta_{ij}= \begin{cases} 1&(i=j)\\ 0&(i \neq j) \end{cases} \notag \end{eqnarray} というものです。

基礎弾性方程式のマトリクス表示

また、基礎弾性方程式\eqref{1}～\eqref{3}をマトリクス表示すると、式\eqref{7}～\eqref{9}となります。

\begin{eqnarray} \vec{\varepsilon} &=& \begin{bmatrix} \varepsilon_x \\ \varepsilon_y \\ \varepsilon_z \\ \gamma_{xy} \\ \gamma_{yz} \\ \gamma_{zx} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \dd{}{x} & 0 & 0 \\ 0 & \dd{}{y} & 0 \\ 0 & 0 & \dd{}{z} \\ \dd{}{y} & \dd{}{x} & 0 \\ 0 & \dd{}{z} & \dd{}{y} \\ \dd{}{z} & 0 & \dd{}{x} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} u \\ v \\ w \label{7} \end{bmatrix} \end{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{cases} \vec{\sigma} &=& \boldsymbol{D}\vec{\varepsilon} \\ \boldsymbol{D} &=& \frac{E(1-\nu)}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1 & \frac{\nu}{1-\nu} & \frac{\nu}{1-\nu} & 0 & 0 & 0 \\ \frac{\nu}{1-\nu} & 1 & \frac{\nu}{1-\nu} & 0 & 0 & 0 \\ \frac{\nu}{1-\nu} & \frac{\nu}{1-\nu} & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1-2\nu}{2(1-\nu)} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1-2\nu}{2(1-\nu)} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1-2\nu}{2(1-\nu)} \end{bmatrix} \end{cases} \end{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{cases} \vec{\sigma}= \begin{bmatrix} \sigma_x & \sigma_y & \sigma_z & \tau_{xy} & \tau_{yz} & \tau_{zx} \end{bmatrix}^{ \mathrm{T} }\\ \begin{bmatrix} \dd{}{x} & 0 & 0 & \dd{}{y} & 0 & \dd{}{z} \\ 0 & \dd{}{y} & 0 & \dd{}{x} & \dd{}{z} & 0 \\ 0 & 0 & \dd{}{z} & 0 & \dd{}{y} & \dd{}{x} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \sigma_x \\ \sigma_y \\ \sigma_z \\ \tau_{xy} \\ \tau_{yz} \\ \tau_{zx} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} F_x \\ F_y \\ F_z \end{bmatrix} = \vec{0} \label{9} \end{cases} \end{eqnarray}